La vecchia questione dei numeri sia triangolari che quadrati risollevata
da Silvio, puo’ essere da stimolo per investigare sull’intero argomento.
Prendiamo i num. figurati in 2D e 3D.
Poligonali:

Triangoli     n(n+1)/2
Quadrati      n^2
Pentagoni     n(3n-1)/2
Esagoni       n(2n-1)
Ettagoni      n(5n-3)/2
Ottagoni      n(3n-2)
K-agoni       n(nm-m+2)/2         dove m = K-2.

Piramide a base:

Triangolare   n(n+1)(n+2)/6
Quadrata      n(n+1)(2n+1)/6
Pentagonale   n^2(n+1)/2
Esagonale     n(n+1)(4n+1)/6
Ettagonale    n(n+1)(5n-2)/6
Ottagonale    n(n+1)(2n-1)/2
K-agonale     n(n+1)(nm-m+3)/6    dove m = K-2
Rettangolare      n(n+1)(2n+3p-2)/6   
                  dove p e' il num. di elementi della fila superiore.

Quali numeri sono comuni per ogni coppia di queste famiglie ?
Riporto alcuni esempi:

Triangoli-Quadrati l’abbiamo appena trattato.

Triangoli-Tetraedri e’ un caso speciale di una questione piu’ generale riguardante il coefficiente binomiale.
C(n,2)=C(m,3) uniche sol. non banali

(m,n)=(10,16),(22,56),(36,120).
Ci sono altri esempi oltre che (10,21) per C(n,2)=C(m,4)??

Quadrati-Piramide Quadrata e’ un vecchio problema dato da Eduard Lucas.
Unica sol. 70^2.

Quadrati-Tetraedri Unica sol. conosciuta 140^2.

Per tutti gli altri accoppiamenti cosa si puo’ dire??
Molti problemi possono essere posti. Es. Se ho a disposizione 36.894
arance posso disporle in una piramide a base quadrata, oppure in una a
base triangolare o ancora in un’altra a base rettangolare.
Quanti piani avra’ ciascuna piramide ? (Il caso di 1 solo piano per la
rettangolare, non vale).