It Hobby Enigmi Anno 2001

Tetraedri Magici 13/02/2001

Un numero tetraedrico Tet(N) e' della forma n(n+1)(n+2)/6=1,4,10,20....
Con una di queste quantita' N di palle, potro' formare, una piramide tetraedrica di lato n.
Se le palle usate sono numerate da 1 ad N, e seguono una certa regola, allora ottengo un tetraedro magico (TM).
Ecco la regola:
Posso collocare la palla num.A sulle 3 sottostanti num.
B,C,D solo se B+C-D = A.

Ecco un esempio di TM di ordine 3:

   10    03    05          
                        06   04
      07    02                        09
                           01
         08
        
        sotto            medio        sopra

10+3-7 = 6
 5+2-3 = 4
 7+2-8 = 1
 6+4-1 = 9

Quanti TM di ordine 3 possiamo trovare? e di ordine 4,5,6....

L'ennesimo termine 09/02/2001

Dalla stringa infinita formata ripetendo le cifre significative nel loro ordine 12345678912345678912345..... formo infiniti numeri tali che ciascuno contenga una cifra in piu' del precedente.
Il primo e' formato da 1 cifra, il secondo da 2...ecc. In pratica ho:

1
23
456
7891
23456
789123
4567891
23456789... ecc

Ora consideriamo la sequenza formata dalle prime cifre di questi numeri (1,2,4,7,2,7,4,2....)
Cerca l'ennesimo termine.

Miagolone e Furbino 04/02/2001

Il gatto Miagolone sta cercando di catturare il topo Furbino che vive in una di 17 cavita'.
Le cavita' sono unite da un'unica galleria rettilinea che le collega tutte.
Miagolone sa che Furbino ogni giorno si sposta in una cavita' adiacente a suo piacimento, se ad es. un dato giorno sta nella cavita' num 10, il giorno dopo si sposta nella 9 o nella 11.
Miagolone ogni giorno riesce a controllare solo 2 cavita', e' evidente che visitando le cavita' (1,2) ( 2,3) (3,4)......(16,17) gli riuscira' di localizzare il topo in un massimo di 16 giorni, ma questa non e' la strategia migliore.
Mettiti nei panni di Miagolone, in quanti giorni riusciresti nell'impresa ??

Curiosa proprieta' 26/01/2001

Il matematico francese Joseph Liuville, ha scoperto questa curiosa proprieta' :
Prendiamo un qualunque intero positivo N. Es. 6
Determiniamo i divisori di N. Nel nostro es. i divisori di 6 sono (1,2,3,6).
Contiamo ora quanti divisori ha, a sua volta, ciascun divisore di N, nel nostro caso (1,2,2,4).
Allora la somma dei cubi di questi ultimi numeri e' uguale al quadrato della somma dei numeri stessi:
1^3+2^3+2^3+4^3 = (1+2+2+4)^2 = 81

Altro es: N=12
Divisori di 12 = (1,2,3,4,6,12)
numero di divisori dei precedenti = (1,2,2,3,4,6)

1^3+2^3+2^3+3^3+4^3+6^3 = (1+2+2+3+4+6)^2 = 324.
Perche' funziona ?

I 3 volumi 14/01/2001

Ho organizzato l'archivio dei miei giochi matematici in 3 volumi A, B, C, le pagine sono numerate sequenzialmente dalla prima pagina di A, all'ultima di C.
Con SP(x) rappresento la somma della numerazione delle pagine del volume x, (se ad es. A fosse formato da 50 pagine, risulterebbe SP(A)=1275) ho notato che:
SP(C) = SP(A)+SP(B)
inoltre SP(A) = al quadrato del numero di pagine presenti nel vol. B.

Di quante pagine sono composti i volumi, sapento che ciascuno ne ha piu' di 40 e meno di 300?

2001 Pentamini 13/01/2001

Michael Reid propone un problema impegnativo.
Trovare una regione di 60 quadrati, copribile con i 12 pentamini, esattamente in 2001 modi differenti.

Somme di naturali 16/01/2001

E' sempre vero che la somma di n numeri naturali consecutivi e' divisibile per n?

Il giro della pedina 21/05/2001

Una pedina e' piazzata nell'angolo in basso a sinistra di una scacchiera n * (n+1).
La pedina comincia il suo giro, muovendo di una casella alla volta in diagonale, direzione alto-destra, finche' non incontra un bordo.
A questo punto la pedina "rimbalza" facendo una curva ad angolo retto, e continua ad avanzare di una casella alla volta, rimbalzando come una palla da biliardo ogni volta che incontra un bordo, finche' non finisce in un angolo.
Di quante mosse e' composto il giro della pedina ??

Somma di potenze 20/05/2001

Leggo a pag.128 del Dictionary of Courious and Interesting Numbers di D.Wells che 128 (che combinazione!) e' il piu' grande intero che non e' somma di distindi quadrati, in altre parole tutti i naturali maggiori di 128, possono essere espressi come somma di quadrati distinti.
Come si puo' dimostrare ?
Qual e' il maggior intero positivo non esprimibile come somma di distinti cubi ?

Percorsi Costosi 20/05/2001

Ogni nodo di una griglia rettangolare mxn e' marcato con un intero positivo chiamato peso.
Il costo di un percorso che attraversa la griglia e' uguale alla somma dei pesi dei nodi toccati.
Dovendo andare dall'angolo in basso a sinistra all'angolo in alto a destra del nostro rettangolo, e' evidente che, se tutti i nodi hanno lo stesso peso, i costi dei percorsi minimi (cioe' senza tornare indietro) sarebbero tutti uguali. Ad es:

In questo rettangolo 3x4 i 10 percorsi minimi (5 passi) che vanno da A a B, hanno tutti un costo = 12.
Come e' possibile marcare i nodi di una griglia mxn con pesi non tutti uguali, in modo tale che tutti i percorsi minimi abbiano lo stesso costo ?

Gruppi Crescenti 19/05/2001

Un normale dado viene lanciato n volte. La stringa dei risultati viene divisa in gruppi, dove ogni gruppo contiene numeri crescenti, in altre parole n < (n+1) < (n+2).. fanno parte dello stesso gruppo.
Es. Se il risultato di 10 lanci fosse = 3,2,3,5,1,6,6,1,3,5, allora si conterebbero 5 gruppi:
(3) (2,3,5) (1,6) (6) (1,3,5).
Se il procedimento e' ripetuto molte volte, quanti gruppi mediamente ci si aspetta di ottenere in funzione di n ??

Generazione di Numeri 05/05/2001

Questo problema concerne la costruzione di interi positivi.
Un nuovo intero puo' essere generato dal precedente utilizzando una qualunque di queste tre operazioni:

a) Aggiungo uno zero alla fine (moltiplicazione per 10).
b) Aggiungo un 4 alla fine (moltiplico per 10 poi aggiungo 4).
c) Divido a meta' se il numero e' pari.

Partendo dal numero 4, e' possibile generare tutti gli interi?

ES. posso ottenere il num.3 applicando cbccc = 4,2,24,12,6,3.

Le tre eta' 29/04/2001

La signora Maria alla festa del suo ventesimo anniversario di matrimonio, spiega che il piu' giovane dei suoi 3 figli si diverte molto quando lei pone un certo problema sulla loro eta'.
E lo spiega.
"Io chiedo generalmente, ai miei ospiti, di indovinare l'eta' dei miei tre figli dando loro, la somma ed il prodotto dei tre numeri.
Guarda caso proprio oggi Paolo non e' stato in grado di indovinare cosi' come Piero 2 anni fa."

Che eta' avranno ? Mha!

Palline Rosse 29/04/2001

Una scatola contiene b palline bianche e r palline rosse.
(b>2)
Estraendone 3 a caso (senza rimpiazzo) la probabilita' che siano tutte bianche e' p.
Se si aggiunge una pallina bianca a quelle gia' presenti, allora detta probabilita' aumenta di un terzo del suo valore.
Qual e' il massimo numero di palline rosse presenti nella scatola?

Vincita coi Dadi 28/04/2001

Puoi vincere una certa cifra nel seguente gioco.
Il banco lancia k dadi, e ad ogni lancio ti vengono pagati tanti Euro quanti sono i valori che compaiono una volta sola.
Se ad es. k=4 ed il risultato e' 1,3,3,5 vinci 2 Euro per l'uno ed il cinque, il tre apparso piu' di una volta viene annullato.
Che valore di k scegli per massimizzare la tua vincita ?

Bianche e Nere 25/04/2001

 _ _ _ _ _ _
|_|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|

Nella scacchiera 6x6 senza uno spigolo, desidero annerire alcune caselle, il minimo possibile, in modo tale che tutte le caselle rimaste bianche siano adiacenti (in contatto per un lato) ad almeno una nera.
Chi mi aiuta ?

Incrocio di triangolari Ed Pegg chiede di mettere una cifra in ogni cella di un rettangolo 3x4 in modo tale che i 3 numeri di quattro cifre orizzontali e i quattro numeri di tre cifre verticali siano tutti triangolari.

Giuliano-Gregoriano 20/04/2001

Come tutti sanno al 4 ottobre 1582 giovedi, segui' il 15 ottobre venerdi' passando cosi' dal calendario Giuliano che contava un bisestile ogni 4 anni, al calendario Gregoriano che conta 97 bisestili ogni 400 anni, abolendo i 3 bisestili negli anni multipli di 100, ma non di 400.
Supponendo che qualche paese conservatore avesse rifiutato la modifica del 1582 continuando a misurare il proprio tempo col calendario Giuliano, in quali anni i due calendari.
sarebbero perfettamente identici ??

Numeri di 9 cifre 27/04/2001

Quanti sono i numeri di 9 cifre, una volta cancellati tutti quelli con la stessa cifra ripetuta 3 o piu' volte consecutivamente ?

Scacchiere Sovrapposte 15/04/2001

Ho messo una sull'altra due scacchiere standard identiche. Considerando il centro come perno, ne ho ruotata una di 45 gradi rispetto all'altra.
Ora mi (vi) chiedo:
Quanto vale l'area totale della regione dove le caselle nere si sovrappongono ?

100 Bastoncini 12/04/2001

Ci sono a disposizione 100 bastoncini di lunghezza 1,2,3,...,99,100 rispettivamente.
Quanti triangoli differenti (non congruenti) posso formare scegliendo 3 bastoncini come lati ?
E se i bastoncini fossero N ?

Prodotto Massimo 8/4/2001

Gli interi da 1 a n sono sistemati su una circonferenza in una delle loro possibili permutazioni.
Si ricava la somma dei prodotti di ciascuna coppia di numeri adiacenti.
Ecco un esempio per n=6:

1x3 + 3x6 + 6x5 + 5x2 + 2x4 + 4x1 = 73
Desiderando che questo risultato sia il massimo possibile, possiamo sviluppare una procedura?
Esiste una formula in funzione di n che dia direttamente tale somma ?

PAP 29/03/2001

Progressione Aritmetica di Potenze.
Come tutti sanno una progressione aritmetica e' una sequenza di interi tale che la differenza tra due termini consecutivi e' costante.
(23,25,27) e' una progressione aritmetica particolare, perche' ogni K-esimo termine e' anche una K-esima potenza, difatti possiamo scrivere
(23^1, 5^2, 3^3).

Qual e' la piu' lunga PAP che possiamo trovare ?

Cubo Binario Completo 14/03/2001

Per ogni intero positivo N e' possibile sistemare gli interi da O a N^2-1 in una matrice quadrata NxN.
Il caso N=4 e' particolare perche' 2^4 = 4^2 e' l'unica soluzione di x^y=y^x, per distinti naturali x e y.
Come risultato, noi possiamo espandere ogni numero da 0-15 in numeri binari di 4 bits, collocandoli su livelli separati a formare un cubo 4x4x4.
Consideriamo ad esempio la matrice:


14  03  11  04
10  09  07  15
02  08  00  01   (a)
12  13  06  05

I quattro livelli binari sono:

  2^0        2^1        2^2        2^3

0 1 1 0    1 1 1 0    1 0 0 1    1 0 1 0
0 1 1 1    1 0 1 1    0 0 1 1    1 1 0 1
0 0 0 1    1 0 0 0    0 0 0 0    0 1 0 0
0 1 0 1    0 0 1 0    1 1 1 1    1 1 0 0

Considerando i quattro livelli come sovrapposti, e leggendo i bytes dal basso verso l'alto otteniamo i numeri visti in (a), ovviamente leggendo dall'alto verso il basso si leggeranno sempre gli interi 0-15 disposti diversamente, ad es. 1110 = 14 diventa 0111=7.

Possiamo notare ora che leggendo il cubo per righe (destra-sinistra) si hanno sempre gli interi 0-15, difatti traducendo in decimale:

06  14  09  10
07  11  03  13
01  08  00  04
05  02  15  12

Purtroppo la stessa cosa non si ottiene leggendo per colonne (fronte-retro del nostro cubo):

00  13  12  07 
14  08  13  04
09  01  05  13
13  07  08  04

dove appaiono quattro 13, due 8, e due 4.
Il cubo binario appena visto e' completo solo per le quattro direzioni nord, sud, alto, basso, fallendo invece per le direzioni est, ovest.
Esiste un cubo binario 4x4x4 che generi tutti gli interi da 0 a 15 leggendo i 4 bit da tutte le sue 6 facce ?

Un Problemaccio 11/03/2001

I responsabili del centro sportivo stanno preparando il calendario per la prossima stagione calcistica.
Ci sono 4 squadre (1,2,3,4) appartenenti al primo distretto ed altre quattro (5,6,7,8) appartenenti al secondo.
Il campionato si gioca ogni sabato per 10 settimane.
Durante tutto lo svolgimento:
a) Ogni squadra gioca due volte con ciascuna squadra del proprio distretto.
b) Ogni squadra gioca una volta con ciascuna squadra del distretto a cui non appartiene.
c) Ogni squadra gioca 5 volte in casa e 5 volte in trasferta.
d) Nessuna squadra gioca per tre volte consecutive in casa o in trasferta.

Dopo ore di tentativi non sono ancora riusciti nel loro intento, e chiedono aiuto al nostro NG, speriamo di non deluderli.

Il Tempo 04/03/2001

Il mio orologio digitale mostra ore, minuti e secondi.
I minuti e i secondi hanno sempre due cifre, cosicche' anche la prima puo' essere = zero.
Le ore, che vanno da 1 a 12, non hanno lo zero davanti, in questo modo il display a volte mostra 5 cifre a volte 6.
Per quale frazione del tempo il display NON contiene cifre ripetute ?

Problema 2 (la vendetta) 27/05/2001

Tizio dice a Caio: "Sommando le cifre del mio anno di nascita, ottengo la mia eta'."
"Ma guarda che strano caso" risponde Caio "benche' siamo nati in anni diversi, mi succede la stessa cosa."
Qual e' la differenza di eta' fra i due?
Aree Intere 01/06/2001
Il triangolo con i lati di 13,14 e 15 ha la particolarita' di avere i tre lati consecutivi e l'area intera (eroniano), pur non essendo rettangolo.
Quanti altri possiamo trovarne ?

Scambio di dati 02/06/2001

Carlo ha sette cartoncini numerati da 1 a 7, ne distribuisce, a caso, tre ad Alice e tre a Bruno, tenendone uno per se.
Dopo che ciascuno ha guardato i rispettivi cartoncini, come possono Alice e Bruno comunicare fra loro alla presenza di Carlo, in modo che alla fine della conversazione Alice conosce i numeri di Bruno, Bruno conosce i numeri di Alice, ma Carlo, per ciascuno dei sei numeri a lui mancanti, non sia in grado di determinarne il possessore con assoluta certezza ?.

GxM=A 24/06/2001

Se scrivo il 15 marzo 1945 nel modo usuale = 15/3/45, noto che l'anno e' dato dal prodotto giorno x mese.
Difatti 15x3=45.
Nel ventesimo secolo, quale e' stato l'anno con il maggior numero di queste date particolari ?

Il Pieno 24/06/2001

Si lanciano 12 dadi standard. Se fra i 12 numeri usciti ce ne sono 6 differenti (1,2,3,4,5,6) hai fatto il pieno, e ti pago 1 Euro, altrimenti lo paghi tu a me.
Giochiamo ?

Il Mago 4 04/07/2001

Il mago mentalista ti da' queste istruzioni:

1) Scrivi un numero di 5 cifre.
2) Scrivi un secondo numero invertendo le cifre del primo (se il primo fosse 12345 il secondo sarebbe 54321)
3) Sottrai il piu' piccolo dal piu' grande.
4) Dimmi le ultime 3 cifre a destra della differenza cosi' ottenuta.
5) Bene, allora le prime 2 cifre sono ..... e naturalmente indovina.

Come cavolo fa ??

Il Blocco 05/07/2001

Un blocco rettangolare di legno ha come misura delle sue 3 dimensioni, 3 differenti numeri primi.
Il volume e' un numero di 3 cifre, e l'area dell'intera superficie un numero di quattro.
Quali possono essere le dimensioni del blocco ?

Spigoli Numerati 06/07/2001

Etichettare gli spigoli di un cubo con 12 differenti numeri naturali in modo che: a) Le somme dei valori dei tre spigoli che concorrono in un vertice siano uguali per tutti gli 8 vertici. b) Le somme dei valori dei quattro spigoli che formano una faccia siano uguali per tutte le 6 facce del cubo.

Se tu fossi l'esperto 26/07/2001

Sig. Esperto, ha esaminato le 14 statuette che le sono state consegnate per la perizia ? Certo sig. Giudice, ho concluso che sono tutte autentiche. Queste sette, fanno parte della prima fusione, dove fu usato oro zecchino, le seconde sette, fanno parte della seconda fusione, dove all'oro fu aggiunta una percentuale d'argento. Difatti sono tutte identiche all'apparenza, ma le prime 7 (tutte dello stesso peso) sono piu' pesanti delle seconde (tutte dello stesso peso), e non di poco. Non abbiamo motivo di dubitare della sua parola, ma come vuole la procedura ce lo deve dimostrare. Abbiamo a disposizione solo questa bilancia a doppio piatto, e siccome sono un frequentatore di IHE, so che si puo' fare con solo 3 pesate. Proceda per favore...

Altre Pesate 08/08/2001

Un ennesimo problema di pesate (non finiscono mai):

Ci sono 61 monete apparentemente uguali.
Sappiamo che 2 sono contraffatte, percio' 59 sono genuine. Le due monete contraffatte hanno lo stesso peso, ma differente dalle genuine.
Lo scopo non e' quello di individuare le monete false, ma e' quello di detrminare se le monete diverse siano piu' pesanti o piu' leggere di quelle genuine.
Con una bilancia a doppio piatto, si puo' fare in 3 pesate.
Come?

Sistema in equilibrio 12/08/2001

02 03 04 02
-- 05 -- 03
02 -- 04 --
-- 03 02 --

Su alcune caselle di una scacchiera 4x4, sono posti dei gettoni.
Ogni gettone porta un numero, che indica esattamente quanti altri gettoni sono in contatto col gettone considerato.
Come si vede il contatto si intende sia ortogonale che diagonale, ma due gettoni vicini, non possono avere lo stesso numero.

Qual e' il massimo numero di gettoni che si possono mettere con questo principio su scacchiere di ordine n? (n=5,6,7,8.....)
Mi interessa particolarmente n=8.

5x5 18/08/2001

Sistemare i numeri da 1 a 25 in uno scacchiere 5x5 in modo tale che ogni numero, eccetto 1 e 2, sia la somma di due dei suoi vicini, ortogonali o diagonali.
Mi spiego meglio. Inizio mettendo l'1 ed il 2 in due caselle qualunque, ma non troppo lontane, visto che il 3 lo posso mettere solo in una casella adiacente alle prime due.
Se sono stato bravo, ho una casella libera con vicini l'1 ed il 3, dove potro' metterci il 4.
Il 5 puo' avere come vicini 1+4 oppure 2+3.... e via dicendo fino a riempire l'intero casellario.
Per i piu' arditi (e qui ce ne sono molti) continuare con quadrati di ordine superiore.
Questo mio problema e' apparso in questi giorni sul JRM Vol.30 num.2

Numeri Romani 24/08/2001

Quanti sono i numeri romani confezionabili con 6 lettere tutte differenti?
Ad es. Il piu' grande e' MDCLXV.

Minicampionato 01/09/2001

Otto squadre di calcio (0,1,2...,6,7) sono le protagoniste di un minicampionato. Si desidera che ogni squadra disputi un incontro con ciascuna altra esattamente una volta, cosi' ci saranno 7*8/2 = 28 partite in tutto. Sappiamo cosi' che il torneo durera' sette giornate.
Ci sono a disposizione 7 campi di gioco (a,b,...f,g) e per non favorire nessuno col fattore campo, si chiede che ogni squadra giochi in ciascun campo esattamente una volta.
Il povero Mario, che deve redigere il calendario degli incontri, sono 3 notti che non dorme.
Possiamo aiutarlo ??

PingPong 06/09/2001

A,B e C giocano una serie di partite singole a pingpong.
L'accordo e' che chi perde, resta seduto nella partita successiva. La prima partita e' stata giocata da A contro B, ed alla fine degli incontri A ha vinto 10 partite mentre B ne ha vinte 21.
Quante volte A ha giocato contro B ?

Spirale cartesiana 23/09/2001

Sull'origine di un piano cartesiano e' posto il numero 1, procedendo a spirale come in figura, sulle coordinate intere, si trovano tutti i num. naturali nel loro ordine:

                |
                |
         26 27 28 29 .. ..
         25 10 11 12 13 ..
         24 09 02 03 14 ..
     --- 23 08 01 04 15 ---
         22 07 06 05 16
         21 20 19 18 17
                |
                |

Dove sara' il num.1000 ?
Generalizza.

Tre gruppi 29/09/2001

Ho diviso i naturali da 1 a 14 secondo un certo criterio, in 3 gruppi. Secondo voi, seguendo la stessa regola, dove andrebbe inserito il numero 15?

Primo gruppo   = 1, 2, 6, 10
Secondo gruppo = 3, 4, 7, 13, 14
Terzo gruppo   = 5, 8, 9, 11, 12

Scacchiera mutilata 16/10/2001

Vorrei eliminare un certo numero di caselle da una normale scacchiera per ottenere che:
a) Sulle caselle rimaste non sia possibile collocare un domino (in altre parole, non ci devono essere 2 caselle adiacenti).
b) Il ripristino di una qualunque delle caselle eliminate, neghi il caso a). (in altre parole, aggiungendo una delle caselle eliminate sia possibile collocare un domino).
Si vede subito che il numero MINIMO di caselle da eliminare e' 32, ad es. tutte le bianche.
Qual e' il MASSIMO ?

Casellario 18/10/2001

In ciascuna casella di una scacchiera 10x10, e' posto un numero scelto fra -1, 0, +1.
E' possibile trovare una disposizione per cui le 20 addizioni, calcolate sulle 10 righe e sulle 10 colonne, diano tutte somme differenti?

Bambini e Torte 11/10/2001

1) Ci sono almeno 2 bambini.
2) Ciascun bambino ha assaggiato almeno 3 torte.
3) Per ogni 2 bambini, c'e' esattamente 1 torta che e' stata assaggiata da entrambi.
4) Per ogni 2 torte, c'e' almeno 1 bambino che le ha assaggiate entrambe.
5) Un bambino ha assaggiato 6 torte.

Quanti bambini e quante torte ci sono ?

Tragedia Americana 05/10/2001

L'uomo ricevette una lettera anonima con l'invito di recarsi al cimitero locale a mezzanotte.
Di solito non prestava attenzione a queste cose, ma quella volta obbedi' per curiosita'.
Era una notte silenziosa, rischiarata da una sottile falce di luna crescente.
L'uomo si sistemo' davanti alla cripta di famiglia e attese, quando improvvisamente senti' dei passi. "Chi va la'" urlo', ma nessuno rispose.
La mattina dopo il custode trovo' l'uomo morto davanti alla cripta con il volto contratto da una smorfia di terrore.

L'uomo aveva votato per Theodore Roosvelt alle elezioni presidenziali del 1904 ??

Leggendo 03/10/2001

Sto leggendo "La storia della Teoria dei Numeri".
La somma di tutti i numeri delle pagine ancora da leggere risulta = 15.000.

Quale pagina sto girando ?

Quadrato magico Nim 30/09/2001

Una somma NIM (detto anche valore di Sprague-Grundy) e' la somma di alcuni numeri, espressi in notazione binaria, "half-added", cioe' senza riporto ed e' utilizzata per verificare la parita' di una posizione NIM.

Ad es.
101001+
111011=
--------
010010

Come si vede una colonna dara' somma 1, solo se risultano, nella stessa colonna, un numero dispari di segni "1".
Sistemare gli interi da 0 a 15 in un quadrato 4x4, in modo che, esprimendo i numeri in notazione binaria, le quattro righe, le quattro colonne, le 2 diagonali principali e le 6 diagonali spezzate abbiano tutte somma NIM = 0.

Sommando i vicini 29/10/2001

Tempo addietro, tentando di sistemare gli interi consecutivi da 1 a N attorno ad una circonferenza in modo che la somma di 2 vicini fosse sempre un quadrato, avemmo modo di provare che il minimo N e' = 32.
Lo stesso problema con i numeri su una linea, invece che ad anello, e' risolvibile con un N piu' piccolo.
Quale ?

7 Colori 30/10/2001

Inversi 06/11/2001

X e' un intero tale che quando e' moltiplicato per 18 e per 19, i due risultati sono formati dalle stesse cifre invertite (tipo ab..cde, edc..ba)

Trova X. Il mago 5 08/11/2001

Il mago fa scrivere un numero casuale di dieci cifre sulla lavagna.
Il mago, dopo aver chiuso in una busta una sua previsione, da' le seguenti istruzioni allo spettatore.
Sotto ciascuna coppia di cifre scrivi il loro residuo modulo 9 (basta sommarle fino a far rimanere una sola cifra come si fa appunto con la prova del 9) ottenendo cosi' un secondo numero di 9 cifre.
Ripeti l'operazione per altre 8 volte, in modo da ricavare una unica cifra finale, Se ad es il numero originario fosse 5743182978 la procedura porterebbe al seguente triangolo:


5 7 4 3 1 8 2 9 7 8
 3 2 7 4 9 1 2 7 6
  5 9 2 4 1 3 9 4
   5 2 6 5 4 3 4
    7 8 2 9 7 7
     6 1 2 7 5
      7 3 9 3
       1 3 3
        4 6
         1

La busta viene aperta e la previsione del mago si rivela esatta. Nel nostro caso indovina la cifra "1".

Come fa?

Pari o dispari ? 06/12/2001

Si scelgono 2 interi a caso. Chiamiamoli A e B, con A Ora si selezionano, sempre a caso, 2 differenti interi compresi fra A e B (inclusi).
La somma di questi ultimi 2 numeri, e' piu' facile sia pari oppure dispari?

Semi-1 06/12/2001

16 e' un numero Semi-1, difatti meta' dei naturali fino a 16 incluso, contengono la cifra "1" e meta' no. Elencandoli:
Contengono la cifra "1" = 1,10,11,12,13,14,15,16.
Non contengono l' "1" = 2,3,4,5,6,7,8,9.
Il piu' piccolo semi-1 e' evidentemente il 2.
Quanti e quali sono i Semi-1 ?
Generalizzando si puo' estendere ai Semi-2, Semi-3,...,Semi-9 La scatola da scarpe 06/12/2001


        _________B
      /|        /|
     / |       / |
    /  |      /  |
   /   |____ /   |
  /   /     /    /
A/___/_____/    /
 |         |   /
 |         |  /
 |         | /
 |_________|/

Il disegno rappresenta una scatola da scarpe senza il coperchio.
Il ragnetto Joe desidera andare dal vertice A al vertice B percorrendo il tratto piu' breve. Facendo un po` di conti, si accorge che puo` scegliere indifferentemente fra 5 percorsi di egual lunghezza.
La scatola e` alta 8 cm, quanto misura in larghezza e lunghezza?

Moltiplicazione sandwich 19/12/2001

Questa e' una moltiplicazione sandwich: 41096 x 83
difatti il risultato si ottiene mettendo le unita' e le decine, del numero a due cifre, rispettivamente a sinistra e a destra del moltiplicando.
41096 x 83 = 3410968.
Trova altre 2 moltiplicazioni sandwich.

222222 20/12/2001

Qual e' il piu' piccolo quadrato che incomincia con sei "2"?

Primi in prograssione 20/12/2001

Ci sono 10 numeri primi < 3000 in progressione aritmetica.

Quali? Lotteria 21/12/2001

In una lotteria vengono estratti 6 numeri su un totale di N.
Qual e' il minimo valore di N per cui la probabilita' che nella sestina estratta ci siano 2 numeri consecutivi, sia inferiore al 50% ?

Grafo 22/12/2001


     *---------*
     |         |
     |         |
     |         |
     *---------*

Questo grafo ha le due proprieta' seguenti:
1) Se due vertici sono connessi, non hanno punti vicini in comune.
2) Se due vertici non sono connessi, hanno esattamente due punti vicini in comune.
Per punti vicini, intendo direttamente collegati da un arco.
Trovare un grafo con piu' di 4 vertici che rispetta le due suddette proprieta'.

Banana 1 24/12/2001

Da alcuni anni circolano alcuni rompicapo che si basano sul movimento detto "banana". In pratica si gioca su uno scacchiere nxm con alcune pedine gia' sistemate in partenza.
Lo scopo e' portare una pedina in una data casella.
Le pedine si muovono come la torre degli scacchi, ma la pedina mossa non puo' fermarsi a piacimento, ma deve percorrere l'intera riga o colonna fino a fermarsi o contro un'altra pedina o contro il bordo della scacchiera.
Faccio un semplice esempio. Su una scacchiera 3x3 sono posizionate 3 pedine. Portarne una nella casella centrale.

1 - -
- - -
2 - 3

Come notazione utilizzo A=Alto, B=Basso, D=Destra, S=Sinistra
Porto la pedina 1 verso destra, poi verso il basso fino a fermarla sopra la 3, allora scrivo 1DB, poi 3SASBD. In tutto 7 mosse.

Ecco il problema: Su una scacchiera 5x5, 4 pedine sono collocate ai 4 angoli.
Portarne una sulla casella centrale.
Naturalmente la soluzione migliore e' quella che impiega meno mosse.

Banana 2 25/12/2001

Il campo e' un 4x4, con 4 pedine ai 4 angoli.
Portarle nelle quattro caselle interne.
Quante mosse ?

Banana 3 25/12/2001

 _ _ _ _ _ _ _
|1|_|_|_|_|_|2|
|_|_|_|_|_|3|_|
|_|_|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|_|_|
|_|4|_|_|_|5|_|
|6|_|_|_|_|_|7|

Usando sempre il movimento "banana" portare la pedina 1 nella casella centrale.

Banana 4 25/12/2001

Questo e' piu' impegnativo dei precedenti.

 _ _ _ _ _ _
|1|_|_|_|_|2|
|_|_|_|_|_|_|
|_|_|x|x|_|_|
|_|_|x|x|_|_|
|_|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|3|

Il pastore (pedina 3) deve portare le due pecore (pedine 1 e 2) all'interno del recinto (le 4 caselle segnate x).
Il pastore si muove come la torre. Le pecore come alfieri.
Il movimento resta lo stesso, presa una direzione ci si ferma o al bordo della scacchiera o contro un altro pezzo.

Il Taglio della Scacchiera 26/12/2001

Voglio tagliare una scacchiera 8x7 in pezzi lungo le linee ortogonali.
I pezzi possono essere composti da 1,2,3,4,5 caselle, a piacere.
Lo scopo e' di minimizzare la lunghezza totale dei tagli.
Per ottenere, ad es. 56 caselle singole il taglio sarebbe di 6x8+7x7=97 unita', ma questa e' la lunghezza massima.

31 Game 29/12/2001

A pagina 145 della sua "Encyclopedia of Improptu Magic", Martin Gardner fa cenno a questo gioco a due.
31 Game Il giocatore "A" piazza un dado sul tavolo col numero della faccia superiore a suo piacimento.
A turno i due giocatori (ora sta a "B") ruotano il dado di un quarto, ed ogni volta il valore della faccia superiore viene sommata al precedente totale.
Il primo giocatore che totalizza 31, o forza l'avversario a sballare, vince.
Dice che il primo giocatore ha una strategia vincente, ma non scende in particolari.

Una Strana Relazione 30/12/2001

Non so se ci sia una semplice spiegazione a questo fatto, ma prendendo il triangolo di Tartaglia (sono campanilista) Mod 2


                      1
                     1 1
                    1 0 1
                   1 1 1 1
                  1 0 0 0 1
                 1 1 0 0 1 1
                1 0 1 0 1 0 1
               1 1 1 1 1 1 1 1
              1 0 0 0 0 0 0 0 1
             ...................

Possiamo leggere per righe e in binario i numeri:
1, 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, ...
Che, come provato da Gauss, sono gli unici poligoni regolari, con un numero di lati dispari, a poter essere costruiti con riga e compasso.

4 Punti 30/12/2001

Sono dati 4 punti in 3D, non tutti sullo stesso piano.
Quanti piani P ci sono tali che le distanze fra P ed i 4 punti sia la stessa ?