Ludomatematica

Propositiones Alcuini

I. PROPOSITIO DE LIMACE.

Limax fuit ab hierundine invitatus ad prandium infra leucam unam. In die autem non potuit plus, quam unam unicam pedis ambulare. Dicat, qui velit, in quot [annis vel] diebus ad idem prandium ipse limax perambulabat?

II. PROPOSITIO DE VIRO AMBULANTE IN VIA.

Quidam vir ambulans per viam vidit sibi alios homines obviantes, et dixit eis: volebam, ut fuissetis alii tantum, quanti estis; et medietas medietatis; et hujus numeri medietas [et rursus de medietate medietas]; tunc una mecum fuissetis. Dicat, qui velit, quanti fuerunt, qui in primis ab illo visi sunt?

III. PROPOSITIO DE DUOBUS PROFICISCENTIBUS.

Duo homines ambulantes per viam, videntesque ciconias, dixerunt inter se: quot sunt? Qui conferentes numerum dixerunt: Si essent aliae tantae; et ter tantae et medietas tertii, adjectis duobus, C essent. Dicat, qui potest, quantae fuerunt, quae inprimis ab illis visae sunt?

IV. PROPOSITIO DE HOMINE ET EQUIS.

Quidam homo vidit equos pascentes in campo, optavit dicens: utinam essetis mei, et essetis alii tantum, et medietas medietatis; certe gloriarer super equos C. Discernat, qui vult, quot equos imprimis vidit ille homo pascentes?

V. PROPOSITIO DE EMPTORE DENARIORUM.

Dixit quidam emptor: volo de centum denariis C porcos emere; sic tamen, ut verres X denariis ematur; scrofa autem V denariis: duo vero porcelli denario uno. Dicat, qui intelligit, quot verres, quot scrofae, quotve porcelli esse debeant, ut in neutris numerus nec superabundet, nec minuatur?

VI. PROPOSITIO DE DUOBUS NEGOTIATORIBUS C SOLIDOS HABENTIBUS.

Fuerunt duo negatiatores, habentes C solidos communes, quibus emerent porcos. Emerunt autem in solidis duobus porcos V, volentes eos saginare, atque iterum venumdare, et in solidis lucrum facere. Cumque vidissent tempus non esse ad saginandos porcos, et ipsi eos non valuissent tempore hyemali pascere, tentavere venumdando, si potuissent, lucrum facere, sed non potuerunt; quia non valebant eos amplius venumdare, nisi ut empti fuerant, id est, ut de V porcis duos solidos acciperent. Cum hoc conspexissent, dixerunt ad invicem: dividamus eos. Dividentes autem et vendentes, sicut emerant, fecerunt lucrum. Dicat, qui valet, inprimis quot porci fuerunt; et dividat ac vendat et lucrum faciat, quod facere de simul venditis non valuit.

VII. PROPOSITIO DE DISCO PENSANTE LIBRAS XXX.

Est discus qui pensat libras XXX sive solidos DC, habens in se aurum, argentum, auricalchum, et stannum. Quantum habet auri, ter tantum habet argenti. Quantum argenti, ter auricalchi: Quantum auricalchi, ter tantum stanni. Dicat, qui potest, quantum in unaquaque specie pensat?

VIII. PROPOSITIO DE CUPA.

Est cupa una, quae C metretis impletur capientibus singulis modia tria; habens fistulas III. Ex numero modiorum tertia pars et VI per unam fistulam currit: per alteram tertia pars sola: per tertiam sexta tantum. Dicat nunc, qui vult, quot sextarii per unamquamque, fistulam cucurrissent.

IX. PROPOSITIO DE SAGO.

Habeo sagum habentem in longitudine cubitos C, et in latitudine LXXX. Volo exinde per portiones sagulos facere, ita ut unaquaeque portio habeat in longitudine cubitos V, et in latitudine cubitos IIII. Dic, rogo, sapiens, quot saguli exinde fieri possint?

X. PROPOSITIO DE LINTEO.

Habeo linteamen unum longum cubitorum LX, latum cubitorum XL. Volo ex eo portiones facere, ita ut unaquaeque portio habeat in longitudine cubitos senos, et in latitudine quaternos, ut sufficiat ad tunicam consuendam. Dicat, qui vult, quot tunicae exinde fieri possint?

XI. PROPOSITIO DE DUOBUS HOMINIBUS SORORES ACCIPIENTIBUS.

Si duo homines ad invicem, alter alterius sororem in conjugium sumpserit; dic, rogo, qua propinquitate filii eorum sibi pertineant?

XII. PROPOSITIO DE QUODAM PATREFAMILIAS ET TRIBUS FILIIS EIUS.

Quidam paterfamilias moriens dimisit haereditatem tribus filiis suis, XXX ampullas vitreas, quarum decem fuerunt plenae oleo. Aliae decem dimidiae. Tertiae decem vacuae. Dividat, qui potest, oleum et ampullas, ut unicuique eorum de tribus filiis aequaliter obveniat tam de vitro, quam de oleo.

XIII. PROPOSITIO DE REGE.

Quidam rex jussit famulo suo colligere de XXX villis exercitum, eo modo, ut ex unaquaque villa tot homines sumeret, quotquot illuc adduxisset. Ipse tamen ad villam primam solus venit; ad secundam cum altero; jam ad tertiam tres venerunt. Dicat, qui potest, quot homines fuissent collecti de XXX villis.

XIV. PROPOSITIO DE BOVE.

Bos qui tota die arat, quot vestigia faciat in ultima riga?

XV. PROPOSITIO DE HOMINE.

Quaero a te, ut dicas mihi, quot rigas factas habeat homo in agro suo, quando de utroque capite campi tres versuras factas habuerit?

XVI. PROPOSITIO DE DUOBUS HOMINIBUS BOVES DUCENTIBUS.

Duo homines ducebant boves per viam, e quibus unus alteri dixit: Da mihi boves duos; et habeo tot boves quot et tu habes. At ille ait: Da mihi et tu duos boves, et habeo duplum, quam tu habes. Dicat qui vult, quot boves fuerunt, quot unusquisque habuit.

XVII. PROPOSITIO DE TRIBUS FRATRIBUS SINGULAS HABENTIBUS SORORES.

Tres fratres erant, qui singulas sorores habebant, et fluvium transire debebant. (Erat enim unicuique illorum concupiscientia in sorore proximi sui) qui venientes ad fluvium non invenerunt, nisi parvam naviculam, in qua non potuerunt amplius nisi duo ex illis transire. Dicat, qui potest, qualiter fluvium transierunt, ne una quidem earum ex ipsis maculata sit?

XVIII. PROPOSITIO DE HOMINE ET CAPRA ET LUPO.

Homo quidam debebat ultra fluvium transferre lupum, capram, et fasciculum cauli. Et non potuit aliam navem invenire, nisi quae duos tantum ex ipsis ferre valebat. Praeceptum itaque ei fuerat, ut omnia haec ultra illaesa omnino transferret. Dicat, qui potest, quomodo eis illaesis transire potuit?

XIX. PROPOSITIO DE VIRO ET MULIERE PONDERANTIBUS.

De viro et muliere, quorum uterque pondus habebat plaustri onusti, duos habentes infantes inter utrosque plaustrali pondere pensantes fluvium transire debuerunt. Navem invenerunt, quae non poterat ferre plus, nisi unum pondus plaustri. Transfretari faciat, qui se putat posse, ne navis mergatur.

XX. PROPOSITIO DE HIRTITIIS.

De hirtitiis masculo et femina habentibus duos natos libram ponderantibus, flumen transire volentibus.

XXI. PROPOSITIO DE CAMPO ET OVIBUS IN EO LOCANDIS.

Est campus, qui habet in longitudine pedes CC, et in latitudine pedes C. Volo ibidem mittere oves; sic tamen, ut unaquaeque ovis habet in longo pedes V, et in lato pedes IV. Dicat, rogo, qui valet, quot oves ibidem locari possint?

XXII. PROPOSITIO DE CAMPO FASTIGIOSO.

Est campus fastigiosus, qui habet in uno latere perticas C, et in altero latere perticas C, et in fronte perticas L, et in medio perticas LX, et in altera fronte perticas L. Dicat, qui potest, quot aripennas claudere debet?

XXIII. PROPOSITIO DE CAMPO QUADRANGULO.

Est campus quadrangulus, qui habet in uno latere perticas XXX, et in alio perticas XXXII, et in fronte perticas XXXIIII, et in altera peticas XXXII. Dicat, qui potest, quot aripenni in eo concludi debent?

XXIV. PROPOSITIO DE CAMPO TRIANGULO.

Est campus triangulus, qui habet in uno latere perticas XXX, et in alio perticas XXX, et in fronte perticas XVIII. Dicat, qui potest, quot aripennos concludere debet?

XXV. PROPOSITIO DE CAMPO ROTUNDO.

Est campus rotundus, qui habet in giro perticas CCCC. Dic, quot aripennos capere debet?

XXVI. PROPOSITIO DE CURSU CBNKS. BC. FVGB. LFPPRKS. *

Est campus, qui habet in longitudine pedes CL. In uno capite stabat canis, et in alio stabat lepus. Promovit namque canis ille post illum, scilicet leporem currere. Ast ubi ille canis faciebat in uno saltu pedes VIIII, lepus transmittebat VII. Dicat, qui velit, quot pedes, quotque saltus canis persequendo, et lepus fugiendo, quoadusque comprehensus est, fecerunt.

XXVII. PROPOSITIO DE CIVITATE QUADRANGULA.

Est civitas quadrangula, quae habet in uno latere pedes mille centum; et in alio latere pedes mille; et in fronte pedes DC, et in altera pedes DC. Volo ibidem tecta domorum ponere, sic, ut habeat unaquaeque casa in longitudine pedes XL, et in latitudine pedes XXX. Dicat, qui velit, quot casas capere debet.

XXVIII. PROPOSITIO DE CIVITATE TRIANGULA.

Est civitas triangula, quae in uno habet latere pedes C, et in alio latere pedes C, et in fronte pedes XC, volo enim ibidem aedificia domorum construere, sic tamen, ut unaquaeque domus habeat in longitudine pedes XX, et in latitudine pedes X. Dicat, qui potest, quot domus capi debent?

XXVIIII. PROPOSITIO DE CIVITATE ROTUNDA.

Est civitas rotunda, quae habet in circuitu pedum VIII millia. Dicat, qui potest, quot domos capere debet, ita, ut unaquaeque habeat in longitudine pedes XXX, et in latitudine pedes XX?

XXX. PROPOSITIO DE BASILICA.

Est Basilica, quae habet in longtudine pedes CCXL,et in lato pedes CXX. Laterculi vero stratae ejusdem unus laterculus habet in longitudine uncias XXIII, hoc est, pedem unum et XI uncias. Et in latitudine uncias XII, hoc est, pedem I. Dicat, qui velit, quot laterculi eandem debent implere?

XXXI. PROPOSITIO DE CANAVA.

Est canava, quae habet in longitudine pedes C, et in latitudine pedes LXIIII. Dicat, qui potest, quot cupas capere debet? ita tamen, ut unaquaeque cupa habeat in longitudine pedes VII, et in lato, hoc est in medio pedes IIII, et pervius unus habeat pedes IIII.

XXXII. PROPOSITIO DE QUODAM PATREFAMILIAS.

Quidam Paterfamilias habuit familias XX. Et jussit eis dare de annona modios XX. Sic jussit, ut viri acciperent modios ternos, et mulieres binos, et infantes singula semodia. Dicat, qui potest, quot viri, aut quot mulieres, vel quot infantes esse debent?

XXXIII. PROPOSITO DE ALIO PATREFAMILIAS EROGANTE SUAE FAMILIAE ANNONAM.

Quidam Paterfamilias habuit familias XXX, quibus jussit dari de annona modios XXX. Sic vero jussit, ut viri acciperent modios ternos, et mulieres binos et infantes singula semodia. Solvat, qui potest, quot viri, aut quot mulieres, quotve infantes fuerunt?

XXXIV. PROPOSITIO ALIA DE PATREFAMILIAS PARTIENTE FAMILIAE SUAE ANNONAM.

Quidam Paterfamilias habuit familias C, quibus praecepit dare de annona modios C, eo vero tenore, ut viri acciperent modios ternos, mulieres binos, et infantes singula semodia. Dicat ergo, qui valet, quot viri, quot mulieres, aut quot infantes fuerunt?

XXXV. PROPOSITIO DE OBITU CUJUSDAM PATRISFAMILIAS.

Quidam Paterfamilias moriens reliquit infantes, et in facultate sua, solidorum DCCCCLX, et uxorem praegnantem. Qui jussit, ut si ei masculus nasceretur, acciperet de omni massa dodrans, hoc est, uncias VIIII. Et mater ipsius acciperet quadrans, hoc est, uncias III. Si autem filia nata esset, acciperet septunx, hoc est, VII uncias, et mater ipsius acciperet quincunx, hoc est, V uncias. Contigit autem, ut geminos parturiret, id est, puerum et puellam. Solvat, qui potest, quantum accepit mater, et quantum filius, quantumve filia?

XXXVI. PROPOSITIO DE SALUTATIONE CUJUSDAM SENIS AD PUERUM.

Quidam senis salutavit puerum, cui et dixit: Vivas fili, vivas, inquit, quantum vixisti, et aliud tantum, et ter tantum. Addatque tibi Deus unum de annis meis, et impleas annos cantum. Solvat, qui potest, quot annorum tunc tempore puer erat?

XXXVII. PROPOSITIO DE QUODAM HOMINE VOLENTE AEDIFICARE DOMUM.

Homo quidam volens aedificare domum locavit artifices VI, ex quibus V magistri et unus discipulus erat, et convenit inter eum, qui aedificare volebat, et artifices, ut per singulos dies XXV denarii eis in mercede darentur, sic tamen, ut discipulus medietatem de eo, quod unus ex magistris accipiebat, acciperet. Dicat, qui potest, quantum unusquisque de illis per unamquamque diem accepit?

XXXVIII. PROPOSITIO DE QUODAM EMPTORE IN ANIMALIBUS CENTUM.

Voluit quidam homo emere animalia promiscua C de solidis C, ita ut equus tribus solidis emeretur, bos vero in solido I, et XXIIII oves in sol. I. Dicat, qui valet, quot caballi, vel quot boves, quotve fuerunt oves?

XXXVIIII. PROPOSITIO DE QUODAM EMPTORE IN ORIENTE.

Quidam homo voluit de C solidis animalia promiscua emere C in oriente; qui jussit famulo suo, ut camelum V solidis acciperet; asinum solido I. XX oves in solido compararet. Dicat, qui vult, quot cameli, vel asini, sive oves in negotio C solidorum fuerint?

XL.PROPOSITIO DE HOMINE ET OVIBUS IN MONTE PASCENTIBUS.

Quidam homo vdit de monte oves pascentes, et dixit, utinam haberem tantum, et aliud tantum et medietatem de medietate, et de hac medietate aliam medietatem, atque ego centesimus una cum ipsis ingrederer meam domum. Solvat, qui potest, quot oves vidit ibidem pascentes?

XLI. PROPOSITIO DE SODE ET SCROFA.

Quidam Paterfamilias stabilivit curtem novam [quadrangulam], in qua posuit scrofam, quae peperit porcellos VII in media sode, qui una cum matre, quae octava est, peperunt igitur unusquisque in omni angulo VII. Et ipsa iterum in media sode cum omnibus generatis peperit VII. Dicat, qui vult, una cum matribus quot porci fuerunt?

XLII. PROPOSITIO DE SCALA HABENTE GRADUS CENTUM.

Est scala una habens gradus C. In primo gradu sedebat columba una: in secundo duae; in tertio tres; in quarto IIII; in quinto V. Sic in omni gradu usque ad centesimum. Dicat, qui potest, quot columbae in totum fuerunt?

XLIII. PROPOSITIO DE PORCIS.

Homo quidam habuit CCCtos porcos, et jussit, ut tot porci numero impari in III dies occidi deberent. Similis est et de XXX sententia. Dicat, qui potest, quot porci impares sive de CCCtis sive de XXX, inter tres dies [ter] occidendi sunt? Haec ratio indissolubilis ad increpandum composita est.

XLIIII. PROPOSITIO DE SALUTATIONE PUERI AD PATREM.

Quidam puer salutavit patrem; ave, inquit, pater! Cui pater: valeas fili! vivas, quantum vixisti, quos annos geminatos triplicatos; et sume unum de annis meis; et habebis annos C. Dicat, qui potest, quot annorum tunc tempore puer erat?

XLV. PROPOSITIO.

Columba sedens in arbore vidit alias volantes: dixit eis: utinam fuissetis aliae tantum et ternae tantum, tunc una mecum fuissetis C. Dicat, qui potest, quot columbae erant in primis volantes?

XLVI. PROPOSITIO DE SACCULO AB HOMINE INVENTO.

Quidam homo ambulans per viam invenit sacculum cum talentis duobus. Hoc quoque alii videntes dixerunt ei: frater da nobis portionem inventionis tantum. Qui renuens noluit eis dare. Ipsi vero irruentes diripuerunt sacculum, et tulit sibi quisque solidos quinquaginta. Et ipse postquam vidit se resistere non posse, misit manum et rapuit solidos quinquaginta. Dicat, qui vult, quot homines fuerunt?

XLVII. PROPOSITIO DE EPISCOPO QUI JUSSIT XII PANES DIVIDI.

Quidam Episcopus jussit XII panes dividi in Clero. Praecepit enim sic; ut singuli Presbyteri binos acciperent panes; Diaconus dimidium, Lector quartam partem: ita tamen fiat, ut Clericorum et panum unus sit numerus. Dicat, qui vult, quot Presbyteri, vel quot Diacones, aut quot Lectores esse debent?

XLVIII. PROPOSITIO DE HOMINE QUI OBVIAVIT SCHOLARIBUS.

Quidam homo obviavit scholaribus, et dixit eis: quanti estis in schola? Unus ex eis respondit dicens: Nolo hoc tibi dicere, tu numera nos bis, multiplica ter; tunc divide in quatuor partes. Quarta pars numeri, si me addis cum ipsis, centenarium explet numerum. Dicat, qui potest, quanti fuerunt, qui pridem obviaverunt ambulanti per viam?

XLVIIII. PROPOSITIO DE CARPENTARIIS.

Septem carpentarii septenas rotas fecerunt. Dicat, qui potest, quot carrae rexerunt?

L. PROPOSITIO DE VINO IN VASCULIS.

Centum metra vini, rogo, ut dicat, qui vult, quot sextarios capiunt? vel ipsa etiam centum metra quot meros habent?

LI. PROPOSITIO DE VINI IN VASCULIS A QUODAM PATRE DIVISIONE.

Quidam paterfamilias moriens dimisit IIII filiis, IIII vascula vini: in primo vase erant modia XL; in secundo XXX; in tertio XX; et in quarto X; qui vocans dispensatorem domus suae ait: Haec quatuor vascula cum vino intrinsecus manente divide inter quatuor filios meos; sic tamen, ut unicuique eorum una sit portio tam in vino, quam in vasis. Dicat, qui intelligit, quomodo dividendum est, ut omnes aequaliter ex hoc accipere possint?

LII. PROPOSITIO DE HOMINE PATERFAMILIAS.

Quidam paterfamilias jussit XC modia frumenti de una domo sua ad alteram deportari; quae distabat leucas XXX: ea vero ratione, ut uno camelo totum illud frumentum deportaretur in tribus subvectionibus, et in unaquaque subvectione XXX modia portarentur: camelus quoque in unaquaque leuca comedat modium unum. Dicat, qui velit, quot modii residui fuissent?

LIII. PROPOSITIO DE HOMINE PATREFAMILIAS MONASTERII XII MONACHORUM.

Quidam Pater Monasterii habuit XII monachos, qui vocans dispensatorem domus suae dedit illis ova CCIIII, jussitque, ut singulis aequalem daret ex eis portionem. Sic tamen jussit, ut inter V presbyteros daret ova LXXXV [et inter quatuor Diaconos LXVIII, et inter tres Lectores LI]. Dicat, rogo, qui valet, quot ova unicuique ipsorum in portionem venerunt, ita ut in nullo nec superabundet numerus, nec minuatur; sed omnis, ut supra diximus, aequalem in omni accipiat portionem?

Solutiones

I Sequitur solutio de limace.

In leuca una sunt mille quingenti passus; ¬V¬I¬I D pedes, ¬X¬C unicae. Quot unicae, tot dies fuerunt, qui faciunt annos CCXLVI et dies CCX.

II Solutio de eadem propositione

Qui inprimis ab illo visi sunt, fuerunt XXXVI. Alii tantum LXXII. Medietas medietatis XVIII. Et hujus numeri medietas sunt VIIII. Dic ergo sic: LXXII et XVIII fiunt XC. Adde VIIII fiunt XCVIIII. Adde loquentem, et habebis C.

III Solutio de ciconiis

XXVIII et XVIII, et tertio sic; fiunt LXXXIIII. Et medietas tertii fiunt XIIII. Sunt in totum XCVIII. Adjectis duobus, C apparent.

IV Solutio de equis.

XL equi erant, qui pascebant. Alii tantum fiunt LXXX. Medietas medietatis hujus, id est, XX si addatur, fiunt C.

V Solutio de emptore.

Fac VIIII scrofas et unum verrem in quinquaginta quinque denariis; et LXXX porcellos in XL. Ecce porci XC. In residuis V denariis, fac porcellos X, et habebis centenarium numerum in utriusque.

VI Solutio de porcis.

Inprimis CCL porci erant, qui C solidis sunt comparati, sicut supra dictum est, in duobus solidis V porcos: quia sive quinquagies quinos, sive quinquies L dixeris, CCL numerabis. Quibus divisis unus tulit CXXV, alter similiter. Unus vendidit deteriores tres semper in solido; alter meliores duos in solido. Sic evenit, ut is, qui deteriores vendidit, de CXX porcis XL solidos est consecutus. Qui vero meliores, LX solidos est consecutus; quia de inferioribus XXX semper in X solidis; de melioribus vinginti autem in X solidis sunt venumdati: et remanserunt utrisque V porci, ex quibus ad lucrum IIII solidos et duos denarios facere potueunt.

VII Solutio.

Aurum pensat uncias novem: argentum ter uncias VIIII, id est, libras duas et tres uncias. Auricalchum pensat ter libras duas et [ter] III uncias, id est, libras VI et VIIII uncias. Stannum pensat ter libras VI, et ter uncias VIIII, hoc est, libras XX, et III uncias. VIIII unciae, et II librae cum III unciis: et VI librae cum VIIII unciis: et XX librae cum III unciis adunatae, XXX libras efficiunt.

Item aliter ad solidum.

Aurum pensat solidos argenteos XV. Argentum ter XV, id est, XLV. Auricalchum ter XLV, id est, CXXV. Stannum ter CXXXV, hoc est, CCCCV. Junge CCCCV, et CXXXV: et XLV: et XV; et invenies DC tos, qui sunt librae XXX.

VIII Solutio.

Per primam fistulam ¬I¬I¬I DC sextarii cucurrerunt. Per secundum ¬I¬I CCCC. Per tertiam ¬I CC.

IX Solutio.

De quadringentis octogesima pars V sunt; et centesima IIII. Sive ergo octuagies V, sive centies IIII duxeris, semper CCCC invenies. Tot sagi erunt.

X Solutio.

Decima pars sexagenarii VI sunt. Decima vero quadragenarii IIII sunt. Sive ergo decimam sexagenarii, sive decimam quadragenarii decies miseris, centum portiones VI cubitorum longas; et IIII cubitorum latas invenies.

XI. Solutio ejusdem.

Verbi gratia: Si ego accipiam sororem socii mei, et ille meam, et ex nobis procreentur filiii; ego denique sum patruus filii sororis meae; et illa amita filii mei. Et ea propinquitate sibi invicem pertinent.

XII. Solutio.

Tres igitur sunt filii, et XXX ampullae. Ampullarum autem quaedam X sunt plenae, et X mediae, et X vacue. Duc ter decies; fiunt XXX. Unicuique filio veniunt X ampullae in portionem. Divide autem per tertiam partem, hoc est, da primo filio X semis ampullas, ac deinde da secundo V plenas et V vacuas. Similiter dabis tertio, et erit trium aequa germanorum divisio tam in oleo, quam in vitro.

XIII. Solutio.

In prima igitur mansione duo fuerunt; in secunda IIII, in tertia VIII, in quarta XVI, in quinta XXXII, in sexta LXIIII, in septima CXXVIII, in octava CCLVI, in nona DXII, in decima ¬I XXIIII, in undecima ¬I¬I XLVIII, in duodecima ¬I¬I¬I¬I XCVI, in quarta decima ¬X¬V¬I CCCLXXXIIII. In quinta decima ¬X¬X¬X¬I¬I DCCLXVIII, etc.

XIV. Solutio.

Nullum omnino vestigium facit bos in ultima riga, eo quod ipse praecedit aratrum, et hunc aratrum sequitur. Quotquot enim hic praecedendo in exculta terra vestigia figit, tot ille subsequens excolendo resolvit. Propterea illius nullum reperitur vestigium in ultima riga.

XV. Solutio.

Ex uno capite campi III. Ex altero III, quae faciunt rigas versuras VI.

XVI. Solutio.

Prior, qui dari sibi duos rogavit, boves habebat IIII. At vero, qui rogabatur, habebat VIII. Dedit quippe rogatus postulanti duos, et habuerunt uterque sex. Qui enim prius acceperat, reddidit duos danti priori, qui habebat sex, et habuit VIII, quod est duplum a quatuor, et illi remanserunt IIII, quod est simplum ab VIII.

XVII. Solutio.

Primo omninum ego et soror mea introissemus in navem et transfretassemus ultra; transfretatoque fluvio dimisissem sororem meam de nave, et reduxissem navem ad ripam. Tunc vero introissent sorores duorum virorum, illorum videlicet, qui ad litus remanserant. Illis igitur feminis navi egressis, soror mea [quae prima transierat,] intraret, navemque reduceret ad nos. Illa egrediente foras, duo in navem fratres intrassent, ultraque venissent. Tunc unus ex illis una cum sorore sua navem ingressi ad nos transfretassent. Ego autem et ille, qui navigaverat, sorore mea remanente foras, ultra venissemus. Nosque ad littora vectos, una ex illis duabus quaelibet mulieribus, ultra navem reduceret, sororque mea secum recepta pariter ad nos ultra venissent. Et ille, cujus soror ultra remanserat, navem ingressus eam secum reduceret. Et fieret expleta transvectio nullo maculante contagio.

XVIII. Solutio.

Simili namque tenore ducerem prius capram et dimitterem foris lupum et caulum. Tum deinde venirem, lupumque transferrem: lupoque foris misso capram navi receptam ultra reducerem; capramque foris missam caulum transveherem ultra; atque iterum remigassem, capramque assumptam ultra duxissem. Sicque faciendo facta erit remigatio salubris, absque voragine lacerationis.

XIX. Solutio.

Eodem quoque ordine, ut superius. Prius intrassent duo infantes et transissent: unusque ex illis reduceret navem. Tunc mater navem ingressa transisset. Deinde filius ejus reduceret navem. Qua transvecta frater illius navim ingressus ambo ultra transissent, rursusque unus ex illis ad patrem reduceret navem. Qua reducta, filio foris stante, pater transiret: rursusque filius, qui ante transierat, ingressus navim eamque ad fratrem reduceret: jamque reductam ingrediantur ambo et transeant. Tali subremigante ingenio erit expleta navigatio forsitan sine naufragio.

XX. Solutio.

Similiter, ut superius, transissent prius duo infantes, et unus ex illis navem reduceret; in quam pater ingressus ultra transisset; et ille infans, qui prius cum fratre transierat, navim ad ripam reduceret, in quam frater illius rursus ingressus ambo ultra venissent; unusque propterea ex illis foras egressus; et alter ad matrem reduceret navim: in quam mater ingressa ultra venisset: qua egrediente foras, filius ejus, qui ante cum patre transierat, navim rursus ingressus eam ad fratrem ultra reduceret; in quam ambo ingressi ultra venissent, et fieret expleta transvectio nullo formidante naufragio.

XXI. Solutio.

Ipse campus habet in longitudine pedes CC. Et in latitudine pedes C. Duc bis quinqus de CC, fiunt XL. At deinde C divide per IIII. Quarta pars centenarii XXV. Siv ergo XL vicies quinquies; sive XXV quadragies ducti, millenarium implent numerum. Tot ergo ibidem oves collocari possunt.

XXII Solutio.

Longitudo hujus campi C perticis, et in utriusque frontis latitudo L, medietas vero LX includitur. Junge utriusque frontis numerum cum medietate, et fiunt CLX. Ex ipsis assume tertiam partem, id est, LIII, et multiplica centies, funt ¬VCCC. Divide in XII aequas partes, et inveniuntur CCCCXLI. Item eosdem divide in XII partes, et reperiuntur XXXVII. Tot sunt in hoc campo aripenni.

XXIII Solutio.

Duae ejusdem campi longitudines faciunt LXII. Duc dimidiam LXII, fiunt XXXI.Ac duae ejusdem campi latitudines junctae fiunt LXVI. Duc vero mediam de LXVI, fiunt XXXIII. Duc vero terties semel, fiunt ¬IXX. Divide per duodecimam partem bis sicut superius, hoc est, de mille viginti, duc per XII, fiunt LXXXV, rursusque LXXXV divide per XII, fiunt VII. Sunt ergo in hoc aripenni numero septem.

XXIV Solutio.

Junge duas longitundines istius campi, et fiunt LX. Duc mediam de LX, fiunt XXX, et quia in fronte perticas XVIII habet, duc mediam de XVIII, fiunt VIIII. Duc vero novies triginta, fiunt CCLXX. Fac exinde bis XII, id est, divide CCLXX, per duodecimam, fiunt XXII et semis; atque iterum XXII et semis per duodecimam divide partem….. fit aripennis unus et perticae X, et dimidia.

XXV Solutio.

Quarta quidem pars hujus campi, qui CCCC includitur perticis est C, hos si per semetipsos multiplicaveris, id est, si centies duxeris, X millia fiunt, hos in XII partes dividere debes; etenim de X millibus duodecima est DCCCXXXIII, quam cum item in XII partitus fueris, invenies LXVIIII. Tot enim aripennis hujusmodi campus includitur.

XXVI Solutio.

Longitudo hujus videlicet campi habet pedes CL. Duc mediam de CL, fiunt LXXV. Canis vero faciebat in uno saltu pedes VIIII, quippe LXXV novies ducti fiunt DCLXXV, tot pedes leporem consuetudo canis cucurrit, quoadusque eum comprehendit dente tenaci. At vero, quia lepus faciebat pedes VII, in uno saltu, duc ipsos LXXV septies. Tot vero pedes lepus fugiendo peregit, donec consecutus est.

XXVII Solutio.

Si fuerint duae hujus civitatis longitudines junctae, facient ¬I¬IC. Similiter duae, si fuerint latitudines junctae, faciunt ¬ICC. Ergo duc mediam de ¬ICC, faciunt DC, rursusque duc mediam de ¬I¬IC, fiunt ¬IL. Et quia unaquaeque domus habet in longitudine pedes XL, et in lato XXX: deduc quadragesimam partem de mille L, fiunt XXVI. Atque iterum assume tricesimam de DC, fiunt XX. Vicies ergo XXVI ducti fiunt DXX. Tot domus capiendae sunt.

XXVIII Solutio.

Duo igitur hujus civitatis latera juncta fiunt CC, atque duc mediam de CC, fiunt C. Sed quia in fronte habet pedes XC, duc mediam d XC, fiunt XLV. Et quia longitudo uniuscujusque habet pedes XX, et latitudo ipsarum pedes X, duc XX partem in C, fiunt V. Et pars decima quadragenarii IV sunt. Duc itaque quinquies IIII, fiunt XX. Tot domos hujusmodi captura est civitas.

XXVIIII Solutio.

In hujus civitatis ambitu VIII millia pedum numerantur, qui sesquialtera proportione dividuntur in ¬I¬I¬I¬IDCCC, et in ¬I¬I¬ICC. In illis autem longitudo domorum; in istis latitudo versatur. Subtrahe itaque de utraque summa medietatem, et remanet de majori IICCCC: de minore vero ¬IDC. Hos igitur ¬IDC divide in vicenos et invenies octagies viginti, rursumque major summa, id est, ¬I¬ICCCC, in XXX partiti, octoagies triginta dinumerantur. Duc octoagies LXXX, et fiunt VI milia CCCC. Tot in hujusmodi civitate domus, secundum propositionem supra scriptam, construi possunt.

XXX Solutio.

CXL pedes longitudinis implent CXXVI laterculi; et CXX pedes latitudinis CXX laterculi; quia uniusquisque laterculus in latitudine pedis mensuram habet. Multiplica itaque centum vicies CXXVI, in ¬X¬VCXX summa concrescit. Tot igitur in hujusmodi basilica laterculi pavimentum contegere possunt.

XXXI Solutio.

In centum autem quaterdecies VII numerantur, in LXIIII vero sedecies quaterni continentur, ex quibus IIII ad pervium reputantur, quod in longitudinem ipsius canavae dicitur. Quia ergo in LX quindecies quaterni sunt; etin centum quaterdecies septeni; ducquindecies XIIII, fiunt CCX. Tot cupae juxta suprascriptam magnitudinem in hujusmodi canava contineri possunt.

XXXII Solutio.

Duc semel ternos, fiunt III, hoc est unus vir III modios accepit. Similiter et quinquies bini, fiunt X, hoc estm quinque mulieres acceperunt modia X. Duc vero septies binos, fiunt XIIII, hoc est XIIII infantes fiunt XX. Hae sunt familiae XX. Ac deinde junge III et VII et X, fiunt XX, haec sunt modia XX. Sunt ergo simul familiae XX, et modia XX.

XXXIIISolutio.

Si duxeris ternos ter, fiunt VIIII. Et si duxeris quinquies binos, fiunt X, ac deinde duc vicies bis semis, fiunt XI, hoc est, viri III acceperunt modia VIIII, et quinque mulieres acceperunt X, et XXII infantes acceperunt XI modia. Simul juncti III et V, et XXI faciunt familias XXX. Rursusque VIIII et XI, et X, simul juncti faciunt modia XXX. Quod sunt simul familiae XXX, et modii XXX.

XXXIV Solutio.

Undecim terni fiunt XXXIII. Et XV bis ducti fiunt XXX, id est, XI viri acceperunt XXXIII modios; et XV mulieres acceperunt XXX et LXXIIII infantes acceperunt XXXVII, qui simul juncti, id est, XI et XV, et LXXIIII fiunt C, qua sunt familiae C, qui sunt modii C. His ergo simul junctis habes familias C et modios C.

XXXV Solutio.

Junge ergo VIIII et III, fiunt XII, XII namque unciae libram faciunt. Rursusque junge similiter VII et V, fiunt iterum XII. Ideoque bis XII faciunt XXIIII, XXIIII autem faciunt duas libras, id est, solidos XL. Deinde ergo per vicesimam quartam partem ECCCCLX solidos, et vicesima quarta pars eorum fiunt XL. Deind duc, quia facit dodrans sive dodrans, XL in nonam partem, ideo novies XL accepit filius, hoc est, hoc est, XVIIII libras, quae faciunt solidos CCCLX. Et quia mater tertiam partem contra filium accepit, et quintam contra filiam, III et V, fiunt VIII. Itaque duc, quia legitur, quod faciat bis seu bisse XL in parte octava, octies ergo XL accepit mater, hoc est, libras XVI, quae faciunt solidos CCCXXX. Deinde duc, quia legitur, quod faciat septunx, XL in VII partibus: postea duc septies XL, fiunt XIIII librae, quae faciunt solidos CCLXXX, hoc filia accepit. Junge ergo CCCLX et CCCXX et CCLXXX, fiunt DCCCCLX solidi et XLVIII librae.

XXXVI Solutio.

In eo vero, quod dxit, vivas, quantm vixisti, vixerat ante annos VIII et menses tres: et aliud tantum fiunt anni XXXIII, qui ter multiplicati fiunt anni XCVIIII, unum ipsis additum fiunt C.

XXXVII Solutio.

Tolle primum XXII denarios et divide eos in VI partes. Sic unicuique de magistris, qui quinque sunt, IIII denarios; nam quinquies quatuor XX sunt. Duos, qui remanserunt, quae est medietas de uno, tolle et da discipulo; et sunt adhuc III denarii residui; quos sic distribues. Fac de unoquoque denario partes XI, ter undecim fiunt XXXIII, tolle illas triginta partes, divide eas inter magistros V. Quinquies seni fiunt XXX. Accidunt ergo unicuique magistro partes VI. Tolle tres partes, quae super XXX remanserunt, quod est inedietas senarii, et da discipulo.

XXXVIII Solutio.

Duc ter vicies tria I, fiunt LXVIIII. Et duc bis vicies quatuor, fiunt XLVIII. Sunt ergo canballi, et solidi LXVIIII. Et oves XLVIII,et solidi II. Et boves XXVIIII, in solidis XXVIIII. Junge ergo XXIII et XLVIII et XXVIIII, fiunt animalia C. Ac deinde junge LXVIIII et II et XXVIIII, fiunt solidi C. Sunt ergo simul juncta animalia C, et soldi C.

XXXVIIII Solutio.

Si duxeris X novies, V fiunt XCX, hoc est, cameli XVIIII sunt empti in solidis XCV. Adde cum ipsis unum, hoc est, in solido I asinum I, fiunt XCVI. Ac deinde duc vicies quater, fiunt LXXX, hoc est, in quatuor solidis oves LXXX. Junge ergo XVIIII et I et LXXX, fiunt C. Haec sunt animalia. Ac dende junge XCV, et I et IIII, fiunt solid. C. Simul ergo juncti faciunt pecora C, et solidos C.

XL Solutio.

In hoc ergo, quod dixit; haberem tantum; XXXVI oves primum ab illo visae sunt. Et aliud tantum fiunt LXXII, atque medietas de hac videlicet medietate, hoc est, de XXXVI, fiunt X et VIII. Rursusque de hac secunda scilicet medietate assumpta medietas, id est, de XVIII fiunt VIIII. Junge ergo XXXVI et XXXVI, fiunt LXXII. Adde cum ipsis XVIII, fiunt XC. Adde vero VIIII cum XC, fiunt XCVIIII. Ipse vero homo cum ipsis additus erit centesimus.

XLI Solutio.

In prima igitur parturitione, quae fuit facta in media sode, fuerunt porcelli VII, et mater eorum octava. Octies igitur octo ducti fiunt LXIIII. Tot porcelli una cum matribus fuerunt in I angulo. Ac deinde sexagies quater octo ducti fiunt DXII. Tot cum matribus suis porcelli in angulo II. Rursusque DXII octies ducti fiunt ¬I¬I¬I¬I XCVI. Tot in tertio angulo cum matribus suis fuerunt. Qui si octies multiplicentur, fiunt ¬X¬X¬X¬I¬I DCCLXXXVIII, tot cum matribus in quarto fuerunt angulo. Multiplica quoque octies ¬X¬X¬X¬I¬I DCCLXXXVIII, fiunt ¬C¬C¬L¬X¬I¬I et CCCIIII. Tot enim creverunt, cum in media sode novissime partum fecerunt.

XLII Solutio.

Numerabitur autem sic: a primo gradu in quo una sedet, tolle illam, et junge ad illas XCVIIII, quae nonagesimo gradu consistunt, et erunt C. Sic secundum ad nonagesimum octavum et invenies similiter C. Sic per singulos gradus, unum de superioribus gradibus, et alium de inferioribus, hoc ordine conjunge, et reperies semper in binis gradibus C. Quinquagesimus autem autem gradus solus et absolutus est, non habiens partem; similiter et centesimus solus remanebit. Junge ergo omnes et invenies columbas ¬V L.

XLIII Solutio.

Ecce fabula! quae a nemini solvi potest, ut CCC porci, sive triginta in tribus diebus impari numero occidantur. Haec fabula est tantum ad pueros increpandos.

XLIIII Solutio.

Erat enim puer annorum XVI, et mensium VI, qui geminati cum mensibus fiunt anni XXXIII, qui triplicati fiunt XCVIIII. Additio uno patris anno C apparent.

XLV Solutio.

Triginta III erant columbae, quas prius conspexit volantes. Item aliae tantae fiunt LXVI. Et tertiae tantum, fiunt XCVIIII. Adde sedentem, et erunt C.

XLVI Solutio

Apud quosdam talentum LXXII vel pondo vel habet libras. Libra vero habet solidos aureos LXXII. Sexagies quinquies LXXII ducti fiunt ¬V CCCC, qui numerus duplicatus fiunt decies DCCC. In X millibus et otingentis sunt quinquagenarii CCXVI. Tot homines idcirco fuerunt.

XLVII Solutio.

Quinquies bini fiunt X, id est, V presbyteri decem panes receperunt: et diaconus unus dimidium panem: et inter lectores VI habuerunt panem et dimidium. Junge V et I et VI in simul, et fiunt XII. Rursusque junge X et semis et unum et semis, fiunt XII. Et illi sunt XII panes; qui simul juncti faciunt homines XII et panes XII. Unus est ergo numerus clericorum et panum.

XLVIII Solutio.

Terties ter bini fiunt LXVI: tant erant, qui pridem obviaverunt ambulanti; qui numerus bis ductus CXXXII reddit. Hos multiplica ter, fiunt CCCXCVI, horum quarta pars XCVIIII sunt. Adde puerum respondentem et reperies C.

XLVIIII Solutio.

Duc septies VII fiunt XLVIIII, tot rotas fecerunt. XII vero quater ducti XLVIII reddunt. Super XL et VIIII rotas XII carra sunt errecta et una superfuit rota.

L Solutio.

Unum metrum capit sectarios XL et VIII. Duc centies XLVIII, fiunt quatuor milia DCCC. Tot sextarii sunt. Similiter et unum metrum habet meros CCLXXXVIIII, duc centies CCLXXXVIIII fiunt ¬X¬X¬V¬I¬I¬I DCCCC. Tot sunt meri.

LI Solutio.

In primo siquidem vasculo fuerunt modia XL, in secundo XXX, in tertio XX, in quarto X. Junge igitur XL et XXX et XX et X, fiunt C. Tunc deinde centenarium idcirco numerum per quartam divide partem. Quarta namque pars centenarii XXV reperitur, qui numerus bis ductus quinquagenarium de se reddit numerum. Eveniunt ergo unicuique filio in portione sua XXV modia; et inter duos L. In primo XL, et in quarto sunt modii X, hi juncti faciunt L, hoc dabis inter duos. Similiter junge XXX et XX modia, quae fuerunt in secundo et tertio vascula, et fiunt L et hoc quoque, similiter ut superius, dabis inter duos, et habebunt singuli XXV modia; eritque id faciendo singlorum aequa filiorum divisio, tam in vino, quam et in vasis.

LII Solutio.

In prima subvectione portavit camelus modios XXX super leucas X, et comedit in unaquaque leuca modium unum, id est, modios XX comedit et remanserunt, in tertia vero subvectione fecit similiter; deportavit medios XXX, et ex his comedit XX, et remanserut, modia XXX, et de itinere leucae X. Quos XXX, in quarta subvectione domum detulit, et ex his X in itinere comedit, et remanserunt de tota illa summa modia tantum XX.

LIII Solutio.

Ducentos igitur quatuor per XII partem divide. Horum quippe pars XII in septima decima resolvitur parte; quia sive duodecies XVII, sive decies septies XII miseris, CCIIII reperies. Sicut enim octogenarius quintus numerus septimum decimum quinarium reddit numerum de se, ita et sexagenarius octavus quadrifarie, et quinquagesimus primus trifarie. Junge V et IIII et III, fiunt XII. Isti sunt homines XII. Rursusque junge LXXXV et LXVIII et LI, fiunt CCIIII. Haec sunt ova CCIIII. Veniunt ergo singulorum ex his in partes ova XVII per duodecimam partem. Septimum decimum aequa lance dividi fiunt….