Ludomatematica

TESSERE di MAC MAHON SU SUPERFICI TRIDIMENSIONALI

 

 

INTRODUZIONE

 

 

Una serie di pezzi di Mac Mahon è costituita generalmente da un insieme di tessere quadrate o triangolari colorate su ogni lato o su ogni vertice con n colori.
Se, ad esempio, i lati di un quadrato vengono contrassegnati in tutti i modi possibili con 3 simboli, si otterrà un insieme di 24 differenti pezzi.
Se un pezzo coincide con un’altro dopo essere stato ruotato, viene considerato identico.
Il problema è essenzialmente quello di posizionare queste tessere seguendo due regole fondamentali: 

 

  • Se i pezzi sono colorati lungo i lati , lati adiacenti devono avere lo stesso colore.
  • Se i pezzi sono colorati ai vertici, tutti i vertici che si incontrano in uno stesso punto devono avere colori differenti.

A ottanta anni dall’uscita del libro di Percy MacMahon “New Mathematical Pastime“, mi meraviglio del poco lavoro di indagine svolto intorno a queste serie colorate che nondimeno nascondono sorprese interessanti.
MacMahon nel suo libro propone perlopiu’ problemi bidimensionali, per questo utilizza tessere quadrate o triangolari, più idonee a saturare il piano, ma questo tipo di tassellatura presenta un difetto di forma, difatti i bordi esterni delle figure composte non entrano in gioco, oppure devono sottostare a regole diverse.
Ho indagato sulla possibilità di collocare queste tessere su superfici di poliedri piu’ o meno regolari.
In questo modo, si ottengono costruzioni più “perfette” perchè tutti i pezzi sottostanno alla stessa regola, in più la varietà dei pezzi che potremo utilizzare è maggiore, perchè le facce interessate possono essere rettangoli, rombi, trapezi, triangoli iscosceli ecc. 

 

Ho diviso l’argomento in 4 sezioni:

  • Enumerazione dei pezzi
  • Individuazione di possibili costruzioni
  • Soluzioni
  • Bibliografia

 
CLASSIFICAZIONE ED ENUMERAZIONE DEI PEZZI

 

Per la classificazione dei pezzi ci sono due caratteristiche fondamentali che vanno considerate RIPETIZIONE e RIFLESSIONE.
Con RIPETIZIONE si intende la possibilità che più lati di una stessa tessera siano dello stesso colore. 

Ovviamente in quelle serie dove la ripetizione è ammessa un solo colore è sufficiente per ottenere almeno una tessera, in quelle serie dove la ripetizione non è ammessa, occorreranno almeno tanti colori quanti sono i lati dei pezzi considerati.
Con RIFLESSIONE identifichiamo quelle coppie di pezzi con colorazione speculare (Enantiomorfi).
Pertanto in quelle serie dove la riflessione è ammessa, due pezzi speculari sono considerati distinti, in quelle serie dove la riflessione non è ammessa, le due colorazioni speculari convivono sulla stessa tessera, che in questo caso è colorata su entrambe le facce e diviene così un pezzo reversibile.

Dopo questa premessa possiamo considerare 4 tipi di famiglie che chiameremo A,B,C,D secondo lo schema seguente:

  Ripetizioni  Riflessioni 
A  Si  Si 
B  No  Si 
C  Si  No 
D  No  No

 

Utilizzando note formule combinatorie possiamo ora contare di quante tessere è composta ciascuna famiglia in base alla forma delle Tessere: Triangoli equilareri, quadrati ecc., ed in base al numero di colori n utilizzati.

 
TRIANGOLI EQUILATERI (TRE)  

  Formule con n = 1 2 3 4 5 6 7 
A  (n^3+2n)/3  1  4  11  24  45  76  119 
B  n(n-1)(n-2)/3  –  –  2  8  20  40  70 
C  n(n^2+3n+2)/6  1  4  10  20  35  56  84 
D  n(n-1)(n-2)/6  –  –  1  4  10  20  35

 
TRIANGOLI ISOSCELI (TRI)  

  Formule con n = 1 2 3 4 5 6 7
A  n^3  1  8  27  64  125  216  343 
B  n(n-1)(n-2)  –  –  6  24  60  120  210 
C  n^2(n+1)/2  1  6  18  40  75  126  196 
D  n(n-1)(n-2)/2  –  –  3  12  30  60  105

 
QUADRATI (QUA) 

   Formule con n = 1 2 3 4 5 6 7
A  (n^4+n^2+2n)/4  1  6  24  70  165  336  616 
B  n(n-1)(n-2)(n-3)/4  –  –  –  6  30  90  210 
C  n(n-1)(n^2+n+2)/8  1  6  21  55  120  231  406 
D  n(n-1)8n-298n-3)/8  –  –  –  3  15  45  105

 
DELTOIDI E TRAPEZI ISOSCELI (DEL) e (TRA)
 

   Formule con n = 1 2 3 4 5 6 7 
A  n^4  1  16  81  256  625  1296  2401 
B n(n-1)(n-2)(n-3)  –  –  –  24  120  360  840 
C  (n^4+n^2)/2 Deltoidi  1  10  45  136  325  666  1225 
C  n^3(n+1)/2 Trapezi  1  12  54  160  375  756  1372 
D  n(n-1)(n-2)(n-3)/2  –  –  –  12  60  180  420 

 
ROMBI E RETTANGOLI (ROM) e (RET) 
 

  Formule con n = 1 2 3 4 5 6 7 
A  (n^4+n^2)/2  1  10  45  136  325  666  1225 
B n(n-1)(n-2)(n-3)/2  –  –  –  12  60  180  420 
C  n^2(n^2+3)/4 Rombi  1  7  27  76  175  351  637 
C  n^2(n^2+2n+1)/4 Rettangoli  1  9  36  100  225  441  784 
D  n(n-1)(n-2)(n-3)/4  –  –  –  6  30 90  210

 
PENTAGONI REGOLARI (PEN) 

  Formule con n = 1 2 3 4 5 6 7 
A  n(n^4+4)/5  1  8  51  208  629  1560  3367 
B n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/5  –  –  –  –  24  144  504 
C  n(n^4+5n^2+4)/10  1  8  39  136  377  888  1855 
D  n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/10  –  –  –  –  12  72  252

 
POSSIBILI COSTRUZIONI 

Osservando le tavole precedenti e’ possibile individuare un notevole numero di combinazioni che possono dar luogo a differenti poliedri.
Per le regole suddette: SU = Spigoli Uguali, VD = Vertici Differenti
Ecco un elenco di 39 problemi ammissibili.

Num  POLIGONI  SIGLA  PEZZI  POLIEDRO  REGOLA 
1  Triangoli Equilateri  B4  8  Ottaedro SU 
2  Triangoli Equilateri  B4  8  Ottaedro  VD 
3  Triangoli Equilateri  B5  20  Icosaedro  SU 
4  Triangoli Equilateri  B5  20  Icosaedro  VD 
5  Triangoli Equilateri  A4  24  Stella Octangula di Keplero  SU 
6  Triangoli Equilateri  A4  24  Tetrachisesaedro  SU 
7  Triangoli Isosceli  B4  24  Triachisottaedro  SU 
8  Triangoli Isosceli  D4  12  Triachistetraedro  SU 
9  Triangoli Isosceli D4  12  2 su ogni faccia del cubo  SU 
10  Triangoli Isosceli D4  12  Cubo Cavo  SU 
11  Triangoli Isosceli D4  12  Ottaedro Cavo  SU 
12  Triangoli Isosceli C3  18  3 su ogni faccia di 2 tetraedri uniti  SU 
13  Triangoli Isosceli  B4  24  Tetrachisesaedro SU 
14  Triangoli Isosceli  B5  60  Piccolo Dodecaedro Stellato  SU 
15  Triangoli Isosceli  B5  60  Triachisicosaedro  SU 
16  Quadrati  B4  6  Cubo  SU 
17  Quadrati+Tri.Equi.  B4+B4  6+8  Cubottaedro  SU 
18  Quadrati+Tri.Equi.  B4+B4  6+8  Cubottaedro  VD 
19  Quadrati  A3  24  Cubo 2x2x2  SU 
20  Quadrati  B5  30  Stella di 7 cubi  SU 
21  Rombi  D5  30  Triacontaedro Rombico  SU 
22  Rombi  B4  12  Dodecaedro Rombico  SU 
23  Rett+Quadr+TriEqui  B4  12+6+8  Cubo Smussato SU 
24  Rett+Quadr+TriEqui  B4  12+6+8  Cubo Smussato  VD 
25  Rett+Pent+TriEqui  D5+D5+B5  30+12+20  Dodecaedro Smussato  SU 
26  Deltoidi  D5  60  Esacontaedro Trapezioidale  SU 
27  Deltoidi  D5  60  Piccolo Triacontaedro Stellato  SU 
28  Trapezi+Quadrati  B4+B4  24+6  6 Piramidi Tronche sul Cubo  SU 
29  Trapezi+TriEqui  D4+D4  12+4  4 Piramidi Tronche sul Tetraedro  SU 
30  Trapezi+TriEqui  B4+B4  24+8  8 Piramidi Tronche sull’Ottaedro  SU 
31  Trapezi+Pentagoni  D5+D5  60+12  12 Piramidi Tronche sul Dodecaedro  SU 
32  Pentagoni+TriEqui  D5+B5  12+20  Icosidodecaedro  SU 
33  Penta+TriEqui+Quadr  D5+B5+B5  12+20+30  Piccolo Rombicosidodecaedro  SU 
34  Deltoidi  D4  12  3 su ogni faccia del Tetraedro  SU 
35  Deltoidi  B4  24  3 su ogni faccia dell’Ottaedro  SU 
36  Triangoli Isosceli  D5  30  Icosaedro Cavo  SU 
37  Triangoli Isosceli  D5  30  Dodecaedro Cavo  SU 
38 Pentagoni  D5  12  Dodecaedro  SU

 
BIBLIOGRAFIA
  

  • P.A. MacMahon e J.R.Jocelyn UK pat. 3927. Gennaio 1893. Sono i 24 TriangoliEqui. A4.
  • P.A. MacMahon “New Mathematical Pastime” Cambridge 1921. Descrive i 24 (TRI) A4, 24 (QUA) A3 e I 30 Cubi.
  • Martin Gardner “New Mathematical Diversions” Fireside 1966. 24 (QUA) A3, 30 Cubi. Riporta i risultati di una analisi al computer fatta da G.Feldman. del rettangolo 6×4 con 12261 soluzioni.
  • M.Gardner”Weels, Life…..” Freeman 1983 a pag. 23 da’ le 3 sol. del prob. 38 descritte da Conway col nome di Quintomino in Eureka Ott.1959.
  • M.Odier “Pattern in Space” in Games and Puzzles #41 Ott.1975. Descrive un icosaedro magnetico con tessere triangolari venduto dalla compagnia francese Anvar, riporta una soluzione del tipo VD.
  • “Enigma” dodecaedro in plastica che riproduce il prob. 38 venduto negli USA nel 1972.
  • W.E.Philpott “Journal of Recreational Mathematics” vol.7 1974 pp. 266-275. Riporta il prob. 19 e dice che fu proposto da J.B.Haley e H.Nelson.
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